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その４　直線を並べると面になるか　（掲載日　2020.11.26）


y=f(x)=1 (0 ≤ x ≤ 1)
の関数のｘ軸、ｙ軸に囲まれた面について
考えてみましょう。


この面を線分を使って作ろうと思うのですが、

無数のｙ軸に平行な線分(0 ≤ y ≤ 1)を
ｘ軸方向に並べると
面となるのでしょうか？


以下の図の状況を考えてみましょう。



面となるということは
面積を持つということになるのですが、

直線の幅が０ですので、

並べようとする線分の幅も０です。


0 ≤ x ≤ 1の範囲に並べた線分の面積は

どれほどの数の線分を並べても

（線分の幅）ｘ（線分の長さ）ｘ（本数）
＝０ｘ１ｘ（本数）
＝０

ですので、

面としての面積を持たず、
面とはならない

ことになります。
（○○の解釈　その３　有理数、無理数の連続参照ください。）


また、
ｘ軸方向に並べた線分無限個を
全て１方向に繋いで並べたとしても、

無限の長さの直線になるだけで、

できたものは直線ですから、

面積は０となります。

下の図の感じです。


（○○の解釈　その３　有理数、無理数の連続で
有理数が不連続なために、
f(x)=1 （ｘが有理数）かつ　f(x)=0 (ｘが無理数）の関数の面積が０となることも
これでも証明できます。

数字で証明できていることは大事なので、
その３では数を用いての証明をしました。）


よって、

「線分を線分と垂直な方向に
どんなに並べても、
面にはならない」

となります。

（直線を直線と垂直な方向に引きずって面を出すこととは
違うことがわかります。）


同様に、
「面をどんなに並べても
面の高さが０なために
体積は生じず、空間とならない」
ことが言えます。



＜追記＞2020.11.26
「点」を並べると、「線」になるか？

「点」はどの方向にも長さがないので、
連続してつなぐことができません。


ですから、
「点」同士を並べても、
「直線」を作ることはできません。



＜追記２＞2020.11.26
「線分」を並べると「線」になるか？

[0,1]の直線を並べた場合、

0 ≤ y ≤ 1の線分を並べることになるので

y=0,1 と
0 ≤ y ≤ 1
（どこまでも０や１に近い数はあるけれど、０、１ではない数）
の部分に分かれます。


[0,1]の場合、
数直線として並べると、
端点が共通することになるのですが、
（幅０の重なりがある）
切れ目のない直線になります。


[0,1)または(0,1]の場合、
切れ目も重なりもない直線になります。


(0,1)の場合、
長さ１ごとに幅０の切れ目のある直線となります。

「ちょっとずらせばいいんじゃない？」的な考え方もあるかもしれませんが、
単に直線に幅０の切れ目があるだけなので、
移動させるべき距離がありません。

なので、
幅０の切れ目がある状態のままとなります。



＜追記３＞2020.11.26
幅「０」の方向に 「連続的に」並べられるのか

「点」を「直線」に
「直線」を「面」に
「面」を「空間」に
という議論は

どれも、幅「０」の方向に
要素である「点、直線、面」を並べることができるのか
という議論なのですが、

全て
「点」と同じように幅「０」である方向に
連続的に並べて「直線」とできるか

という議論です。


一番の根っこに戻ると、

「点」を連続的に並べて、
「直線」にできるか

という議論がどうかによって、

３つの議論の答えは変わります。
（３つとも全て同じ答えになります。）


「実数は稠密に入っている」ということになっているのですが、

ちょっとでも隣に行くと、
その方向に「長さ」が生まれてしまいます。
（同時に長さの概念が生まれるのですが。）


「直線に点は稠密に含まれている」のですが、

幅「０」のものを「連続に」並べられるとは
言えない気がします。


面積での議論のように
「０」ｘ「１」ｘ「無限本」
＝０
なので、

線分を無限本並べても
０でない面積ができない

事実を無視できない
と思います。


また、
「点と直線」の関係と同様に、

「面に直線は稠密に含まれている」
「面に空間は稠密に含まれている」

も成り立ちます。
（幅「０」の成分方向に並べる軸は直線だからです。）


現実感覚と違う議論なので
間違えて議論展開していたとしても、
気が付きにくいので、
間違えていたら、ご容赦ください。


日常生活的には
言葉だけで考えていて、実感を伴わないと
現実とかけ離れたことを考えたりしてしても
気が付かないのと同じことが
起きている感じです。

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