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根本の根



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1. 負の数って何?


ずばり、正の数の180度反対向きの数。
ここでは数直線というものを使うので、数直線については 11. 数直線って何? を参照してください。
(これから書きます。)

数直線の0のところに鏡を立てたと思って、
正の数の世界の鏡の世界の数が負の数の世界。

0から離れると正の数は大きくなる。
けれども、反対の世界の数(負の数)は0から離れるほどに
0との距離が大きくなるけれども小さくなる。
反対の意味になったね。
そして、数字についているマイナス(−)はつけられた数字の向きを反対にしてしまうんだ。

足し算すると、答えが大きくなるイメージがある。
これは正の数と正の数を足し合わせたとき。

負の数を足すと、正の数を足すのとは違って、和は小さくなる。
足し算を絵で考えてみよう。

負の数の足し算

3に2を足すと“右”に2移動することになって答えは5。
(−2)を足すと、向きが反対になるから、“左”に2移動したことになる。
すると、数は2だけ小さくなって答えは1。

結局、正の数を引いたのと同じことになる。
正の数の時の計算と反対の操作をしたことになった。

負の数を引いてみよう。
正の数を引き算すると、“左”に移動するね。
3−2は1だ。
負の数を引くと、移動する向きが反対になって“右”に移動する。
だから、3−(−2)は、“右”に2移動して答えは5。
だから、数が大きくなるんだ。

理論的に広げた反対の向きの世界に慣れようという企画が負の数。
これから、数学ではどんどん理論的に広げた世界が出てくる。
その第1弾が中学生に入って初めて出てくる負の数なんだ。
使っているうちに、脳みそが慣れて
そういう世界での実感を感じられるようになってくると思う。
(まずは理論的に正しいことをやることに集中するべきなんだけれど)

負の数に足したり引いたりするのは、
どういうことか考えてみよう。
(ここまで答えを書いてしまうと、書きすぎになってしまうと思うんだ。
僕は君自身の考える力や考えたいという意思を
ちょっとでも奪ってしまうようなことはしたくない。
だから、僕は答えを書かないよ。
各自頑張るべし)


次は掛け算だ。
負の数をかけると向きが反対になるから、
正の数だったものが負の数になって、負の数だったものが正の数になる。
掛け算の場合も絵で考えてみよう。
1に(−2)をかけるとどうなるかな?

負の数の引き算

1という数字は右方向に1進んだ数だね。
試しに正の数の2をかけると、同じ方向に2倍されるから、
1×2の答えは2で正の数のまま。
負の数の(−2)をかけると、反対方向に2倍されるから、
1×(−2)の答えは負の数の方向に2倍されて、−2になる。

今度は負の数にかけてみよう。
(−1)に(−2)をかけるということはどういうことかな?
(これも答えは書かない。自分で考えてみよう)

最後に割り算のことも考えよう。
2÷(−2)と(−2)÷(−2)について考えてみるといい。
ヒントは正の数の割り算は元の数字と同じ方向で距離が割り算的に変わるということだよ。

考え方を全部書いたら、
丸暗記するためのターゲットを提供するだけになってしまうので、
書きません。
自分で考えないと自分の力にならないので頑張るように。

さあ、他の計算の例について自分の力でトライしてみよう。



2017.10.04 英語版での改良にあわせて変更を加えました。

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